Geometrie, která se učí na školách, se zabývá pravidelnými útvary (přímka, kružnice, elipsa, ...). Pokud se ale podíváte kamkoliv do přírody, zjistíte že převážná většina útvarů je nepravidelných. Vyjádřit tyto útvary můžete aproximací, tím ale může dojít (a většinou také dochází) ke značné deformaci a ztrátě informací. Představte si, že máte změřit obvod nějakého ostrova (Mandelbrot, 1977, How long is the coast of Great Britain). Jedna z možných metod je "obejít" ostrov s měřidlem o nějaké rozumné délce. Výsledná hodnota bude ale pouhou aproximací skutečné délky ostrova. Pokud celý proces zopakujete s poloviční délkou měřidla, zjistíte že výsledek je o něco větší. Podařilo se vám totiž zachytit mnohem více detailů. Teoreticky lze zmenšováním měřidla a tím zachycením více a více detailů dojít až k nekonečné délce jakéhokoliv geometricky nepravidelného ostrova.
Na rozdíl od klasické geometrie se fraktální geometrie zabývá nepravidelností objektů. Poprvé použil slovo fraktál Benoit Mandelbrot. Snažil se pro nový objev nalézt jméno a náhodou zalistoval sešitem svého syna kde narazil na latinské slovo fractus. Z něj je odvozené slovo frangere - rozlámat, vytvořit nepravidelné úlomky. A tak fraktály dostaly své jméno. Fraktál je tedy jakýkoliv geometricky nepravidelný útvar, ze kterého po rozdělení vznikne v ideálním případě několik soběpodobných kopií původního celku. Jedná se o útvary, které jsou soběpodobné a nezávislé na měřítku. Často mají ještě další zajímavé vlastnosti, např. nekonečně dlouhý obvod či nekonečně malý obsah.
Toto samozřejmě není matematická definice fraktálu. Pokud ji v tomto odstavci čekáte, musím vás zklamat, protože dosud nebyla podána. Nejvýstižnější je pravděpodobně Mandelbrotova "definice" z roku 1977, která zní: Fraktál je možina, jejíž hodnota Hausdorffovy-Besicovichovy dimenze přesahuje hodnotu dimenze topologické. Topologická dimenze (DT) určuje klasický geometrický rozměr tělesa. Bod má DT=0, přímka DT=1, plocha DT=2 a prostorový objekt DT=3. Hausdorffova-Besicovitchova dimenze D, nebo také dimenze fraktální, určuje míru nepravidelnosti tělesa. U pravidelných těles je shodná s dimenzí topologickou, u těles nepravidelných je větší (např. D=2.12). O jejím měření ale až dále.
Fraktály nejsou zajímavé jen pro matematiky, fyziky a další vědce. Mnoho fraktálů je velmi pěkných na pohled. Zajímavé je, že například následující obrazec vznikl z velice jednoduchého matematického výrazu z = z2+c.
