Frakt�ly, o kter�ch jsem se zm�nil v p�edchoz�ch kapitol�ch, p�edstavuj� jen jejich nepatrn� zlomek. Vznikly stovky - nebo mo�n� sp�� tis�ce - frakt�l�. N�kter� jsou um�le vykonstruovan�, jin� zobrazuj� jinak nepochopiteln� p��rodn� d�je. Mezi n� pat�� nap��klad turbulence, kter� bez teorie chaosu nebyla pochopiteln�.
Asi nejzn�mn�j�� chaotick� frakt�l je Lorenz�v atraktor. Vznikne zaps�n�m rovnic popisuj�c�ch chov�n� vodn�ho kola (viz 2. kapitola). Matematicky zjednodu�eno se d� zapsat tak� takto:
yn = yn-1 + d * (xn-1 * (c - zn-1) - yn-1)
zn = zn-1 + d * (xn-1 * yn-1 - b * zn-1)
Dal�� frakt�l naz�van� dle jeho jm�na autora H�non�v atraktor. Vznikne natahov�n�m a oh�b�n�m f�zov�ho prostoru. H�non si jej p�vodn� kreslil ru�n� na pap�r a v�po�ty d�lal na kalkula�ce. P�i takto pomal�m v�po�tu je vid�t, �e body atraktoru se objevuj� "n�hodn�" a nakonec vytvo�� takov�to �tvar.
P�esto�e je tento atraktor tak jednoduch�, p�edstavuje pro matematiky st�le probl�m. P�i postupn�m zjem�ov�n� frakt�lu se objevuj� nov� a nov� detaily a ukazuje se, �e jednotliv� k�ivky nejsou pouze k�ivkami, ale nekone�n� mnoho p�r� k�ivek "vedle" sebe. P�esto nen� mo�n� bez v�po�tu ur�it, kde se n�sleduj�c� atraktoru bod objev�.
V�po�et tohoto frakt�lu je opravdu velmi jednoduch�:
yn = 0.3 xn-1
Samoz�ejm� existuj� i frakt�ly, kter� vznikly z �ist� estetick�ho hlediska. P��kladem je frakt�l nesouc� jm�no King's dream. Vymyslel jej Clifford Pickover a poprv� byl uve�ejn�n v knize Chaos in Wonderland. Jeho v�po�et je tak� velice snadn�:
yn = sin(xn-1 a) + d sin(yn-1a)
a,b,c a d jsou konstanty. Na jejich vhodn�m zvolen� z�vis� tvar frakt�lu. Pou�it� hodnoty jsou a=-0.966918, b=2.879879, c=0.765145, d=0.744728.
Nejv�ce frakt�l� vymyslela ov�em p��roda. Velice zaj�mav� �tvary tvo�� r�zn� oscil�tory. Ve v�t�in� p��pad� vznikaj� o�ek�van� obrazce, ov�em p�i vhodn�m zvolen� po��te�n�ch podm�nek se st�vaj� v�ci kter� nikdo nep�edv�dal.
 |
 |
Nejen oscil�tory maj� v n�kter�ch p��padech chaotick� chov�n�. Dal��m p��kladem je turbulence �i r�zn� chemick� reakce. P�kn� obrazce vzniknou tak� prota�en�m ty�e ve vazk� tekutin�. Pokud ty� prot�hneme jednou, vznikne jednoduch� vlnit� obrazec. Pokud ji prot�hneme v�ckr�t, vznikaj� komplikovan�j�� �tvary.
 |
 |
Po dlouhou dobu se mnoho matematik� a biolog� zab�valo frakt�ly u nih� zn�me matematick� vyj�d�en� a zobraz� n�m n�jak� objekt zn�m� ze �ivota. Existuj� frakt�ly, kter� "nakresl�" hl�vku zel� �i bl�to. Michael Barnsley se zab�val procesem opa�n�m, tedy jak nal�zt u nezn�m�ho frakt�lu jeho matematick� vyj�d�en�. P�i�el na velice jednoduchou metodu. Nazval ji kol�ov� v�ta a funguje zhruba takto: Nakresl�te si �tvar, kter� chcete reprodukovat. Ten "pokladete" zmen�en�mi kopiemi, kter� se mohou dokonce i ledabyle p�ekr�vat (!!). Vysoce frakt�lov� �tvary se "dl�d�" snadno, u m�n� frakt�lov�ch �tvar� je to obt��n�j��. P�i zanedb�n� drobn�ho zkreslen� to je ale mo�n� u v�ech. Pokud je obr�zek slo�it�, budou slo�it� i pravidla. Na druhou stranu pokud je obr�zek frakt�lem, budou pravidla velmi jednoduch�. A vzhledem k tomu �e jeden z hlavn�ch poznatk� Benoita Mandelbrota je �e v p��rod� frakt�lov� ��d je, nebude probl�m u p��rodn�ch struktur tuto informaci dek�dovat. V�dy� i DNA mus� obsahovat jen velmi mal� mno�stv� informac�, ze kter�ho vyroste velmi slo�it� jedinec.
Vzhledem k tomu, �e Barnsley m�l r�d kapradiny, vybral si je pro sv� n�kter� experimenty. Pomoc� po��ta�ov�ho termin�lu a my�i pokladl kapradinu mal�mi kopiemi sebe sama. A v�sledek vid�te na obr�zku.
