Benoit Mandelbrot ve sch�ch jednadvaceti letech narazil na zapadlou pr�ci Julia a Fatoua. Za�al se zab�vat Juliov�mi mno�inami a pokou�el se je zobecnit. Dlouhou dobu hledal, kterak popsat tyto mno�iny a sjednotit je. A� v roce 1979 objevil jak�si "katalog" Juliov�ch mno�in. T�m katalogem byla dal�� mno�ina v komplexn� rovin�, kter� popisovala v ka�d�m sv�m bod� ur�itou Juliovu mno�inu. Tato mno�ina se naz�v� dle sv�ho objevitele Mandelbrotova. Je velice zaj�mav�, �e tyto dv� mno�iny jsou spolu propojeny tak, �e ka�d� bod v Mandelbrotov� mno�in� ur�uje vzhled mno�iny Juliovy, kter� ke zvolen�mu bodu pat��.
| 
|
| 
|
| 
|
V�po�et1 Mandelbrotovy mno�iny je velice jednoduch�. Zkoum�me pro ka�d� bod komplexn� roviny, zda jeho neust�l�m umoc�ov�n�m se vzdaluje od nuly a bl��� k nekone�nu. Na ka�d� bod n�kolikr�t aplikujeme rovnici zn = zn-12 + c. V�po�et je velice jednoduch�: Vezmeme komplexn� ��slo a p�i�teme k n�mu jeho druhou mocninu. V�sledek zase umocn�me a p�i�teme k n�mu p�vodn� ��slo. Tento proces opakujeme, dokud v�sledek v�po�tu nep�es�hne hodnotu 2. Pokud ji p�es�hne, v�po�et kon��. Pokud ne, bod do mno�iny pat��.
Program pracuj�c� podle v�po�tu z p�edchoz�ho odstavce by zobrazil �ernob�l� obr�zek ve tvaru Mandelbrotovy mno�iny. Abychom dos�hli barevn�ho zobrazen�, spo��t�me po�et iterac�, kter� je nutn� prov�st ke zji�t�n� n�le�itosti bodu do mno�iny. Po�et iter�c� n�m d� ��slo barvy a na programu je, aby tomuto ��slu p�i�adil n�jakou barvu. Program, kter� zobrazuje Mandelbrotovu mno�inu se jmenuje mandelbrot.cpp. Naleznete jej v kapitole Pro program�tory.
Vzhledem k tomu, �e Mandelbrotova mno�ina je frakt�l, m� tak� n�kter� zaj�mav� vlastnosti. Opakuj� se v n� �asto r�zn� motivy, ov�em jsou si sob� pouze podobn�. Tyto podobn� obr�zky nejsou z�visl� na m���tku. Stejn� motiv bude jednou 100x men�� ne� cel� mno�ina, jin� milionkr�t.
 | 
|
Mandelbrotova mno�ina nen� ov�em pouze jedna. Kdy� zm�n�me exponent vzniknou mno�iny dal��, ov�em sob� velmi podobn� a soum�rn�.
 | 
|
Samoz�ejm� je mo�n� celo��seln� exponent nahradit exponentem re�ln�m. Velice zaj�mav� je plynul� p�echod mezi dv�ma celo��seln�mi exponenty. Z Mandelbrotovy mno�iny za�ne vyr�stat dal�� "hlavi�ka", kter� se "um�st�" na sv� m�sto. Je tak� mo�n� re�ln� exponent nahradit exponentem komplexn�m, t�m ale vzn�k� velice slo�it� �ty�rozm�rn� �tvar.
