Benoit Mandelbrot ve schých jednadvaceti letech narazil na zapadlou práci Julia a Fatoua. Začal se zabývat Juliovými množinami a pokoušel se je zobecnit. Dlouhou dobu hledal, kterak popsat tyto množiny a sjednotit je. Až v roce 1979 objevil jakýsi "katalog" Juliových množin. Tím katalogem byla další množina v komplexní rovině, která popisovala v každém svém bodě určitou Juliovu množinu. Tato množina se nazývá dle svého objevitele Mandelbrotova. Je velice zajímavé, že tyto dvě množiny jsou spolu propojeny tak, že každý bod v Mandelbrotově množině určuje vzhled množiny Juliovy, která ke zvolenému bodu patří.

Výpočet¹ Mandelbrotovy množiny je velice jednoduchý. Zkoumáme pro každý bod komplexní roviny, zda jeho neustálým umocňováním se vzdaluje od nuly a blíží k nekonečnu. Na každý bod několikrát aplikujeme rovnici z_n = z_n-1² + c. Výpočet je velice jednoduchý: Vezmeme komplexní číslo a přičteme k němu jeho druhou mocninu. Výsledek zase umocníme a přičteme k němu původní číslo. Tento proces opakujeme, dokud výsledek výpočtu nepřesáhne hodnotu 2. Pokud ji přesáhne, výpočet končí. Pokud ne, bod do množiny patří.

Program pracující podle výpočtu z předchozího odstavce by zobrazil černobílý obrázek ve tvaru Mandelbrotovy množiny. Abychom dosáhli barevného zobrazení, spočítáme počet iterací, které je nutné provést ke zjištění náležitosti bodu do množiny. Počet iterácí nám dá číslo barvy a na programu je, aby tomuto číslu přiřadil nějakou barvu. Program, který zobrazuje Mandelbrotovu množinu se jmenuje mandelbrot.cpp. Naleznete jej v kapitole Pro programátory.

Vzhledem k tomu, že Mandelbrotova množina je fraktál, má také některé zajímavé vlastnosti. Opakují se v ní často různé motivy, ovšem jsou si sobě pouze podobné. Tyto podobné obrázky nejsou závislé na měřítku. Stejný motiv bude jednou 100x menší než celá množina, jiný milionkrát.

Mandelbrotova množina není ovšem pouze jedna. Když změníme exponent vzniknou množiny další, ovšem sobě velmi podobné a souměrné.

Samozřejmě je možné celočíselný exponent nahradit exponentem reálným. Velice zajímavý je plynulý přechod mezi dvěma celočíselnými exponenty. Z Mandelbrotovy množiny začne vyrůstat další "hlavička", která se "umístí" na své místo. Je také možné reálný exponent nahradit exponentem komplexním, tím ale vzníká velice složitý čtyřrozměrný útvar.